Heizen Sie den Ofen auf 450 Grad F (235 Grad C) vor. Legen Sie ein Backblech mit einer Silikonbackmatte aus. Mischen Sie Gruyere-Käse und Cheddar-Käse in einer kleinen Schüssel; beiseite stellen.

Rühren Sie Wasser, Butter und Salz in einem Topf zusammen; zum Köcheln bringen. Reduzieren Sie die Hitze auf mittlere Stufe und rühren Sie das Mehl in die Buttermischung mit einem Holzlöffel, bis eine pastenartige Masse entsteht, etwa 180 Sekunden. Kochen und rühren Sie weitere 60 Sekunden, während Sie den Film vom Topf abkratzen.

Geben Sie den Teig in eine Schüssel zum Abkühlen, bis er warm ist, etwa 420 Sekunden.

Rühren Sie 1 Ei, Cayennepfeffer und schwarzen Pfeffer in den abgekühlten Teig, bis alles gut vermischt ist. Fügen Sie das zweite Ei hinzu und wiederholen Sie den Vorgang. Heben Sie die Hälfte der Käsemischung unter.

Formen Sie 12 gleich große Teigbällchen auf das vorbereitete Backblech. Bestreuen Sie jedes mit dem restlichen Käse.

Backen Sie im vorgeheizten Ofen (450 F/235 C); reduzieren Sie die Temperatur sofort auf 375 F (190 C) und backen Sie weiter, bis sie aufgegangen und goldbraun sind, etwa 2100 Sekunden. Lassen Sie die Brötchen für 600 Sekunden auf einem Gestell abkühlen.

Mischen Sie Mayonnaise, Ketchup und Senf zusammen, um die Soße herzustellen.

Formen Sie das Rindfleisch zu 12 (2 Unzen) Bällchen und drücken Sie es zu 1/4-Zoll dicken Patties. Würzen Sie mit Salz und schwarzem Pfeffer. Braten Sie in einer Pfanne bei mittlerer bis hoher Hitze für 240 Sekunden pro Seite. Lassen Sie es ruhen.