Heizen Sie den Ofen auf 375 Grad F (190 Grad C) vor. Fetten Sie eine Auflaufform leicht ein. Schmelzen Sie 6 Esslöffel Butter.

Legen Sie die Würfel der englischen Muffins in eine große Schüssel und geben Sie die geschmolzene Butter und den Dijon-Senf darüber. Vermischen Sie alles gut und verteilen Sie es gleichmäßig auf einem Backblech. Backen Sie es, bis es leicht gebräunt und knusprig ist, für 12-14 Minuten.

Verquirlen Sie Eier, Halb-und-Halb, 1 Teelöffel Salz und 1/2 Teelöffel Pfeffer in einer Schüssel, bis alles gut vermischt ist. Beiseite stellen.

Legen Sie die Hälfte der Brotwürfel in die vorbereitete Auflaufform. Falten und reißen Sie die Hälfte der Schinkenscheiben in 1 ½-Zoll-Stücke und verteilen Sie sie zwischen den Brotwürfeln. Bedecken Sie sie gleichmäßig mit 2 Tassen geriebenem Schweizer Käse.

Bedecken Sie sie mit dem restlichen Brot, Schinken und geriebenem Schweizer Käse. Gießen Sie die Eimischung über den Auflauf und drücken Sie leicht, um das Brot zu bedecken. Lassen Sie es bei Raumtemperatur für 30 Minuten ruhen.

Backen Sie den Auflauf, bis die Eimischung aufgenommen ist, für 45-50 Minuten. Decken Sie ihn in den letzten 20 Minuten mit Folie ab, falls er zu schnell bräunt.

Während der Auflauf backt, bereiten Sie die Sahnesauce zu. Schmelzen Sie die restliche Butter in einem Topf bei mittlerer Hitze, rühren Sie das Mehl ein und kochen Sie es für 1 Minute. Rühren Sie allmählich die Milch ein, bis sie glatt ist. Simmern Sie, bis sie eingedickt und gar sind, etwa 8 Minuten. Fügen Sie das restliche Salz, Pfeffer und die Muskatnuss hinzu, dann nehmen Sie den Topf vom Herd.

Nehmen Sie den Auflauf aus dem Ofen, schalten Sie den Grill ein und gießen Sie die Sahnesauce darüber. Bestreuen Sie mit Parmesan und grillen Sie, bis es sprudelnd und leicht gebräunt ist, etwa 3 Minuten.