Lösen Sie die Hefe in warmem Wasser in einer Rührschüssel auf; lassen Sie sie etwa 5 Minuten stehen, bis sie schaumig ist. Fügen Sie 1 Esslöffel Olivenöl, Zucker und Salz hinzu; mischen Sie 1 Tasse Mehl ein, bis es glatt ist. Rühren Sie allmählich den restlichen Mehl ein, bis der Teig glatt und formbar ist.

Heben Sie den Teig auf eine leicht bemehlte Oberfläche. Kneten Sie den Teig, bis er elastisch ist, etwa 5 Minuten. Geben Sie 1 Teelöffel Olivenöl in eine große Schüssel; legen Sie den Teig in die Schüssel und drehen Sie ihn, um ihn mit Öl zu überziehen. Abdecken und gehen lassen, bis sich die Größe fast verdoppelt hat, etwa 40 Minuten.

In der Zwischenzeit die Füllung zubereiten: Cheddar-Käse, Ricotta-Käse, Pepperoni, Pilze und Basilikumblätter in einer mittleren Schüssel vermengen. Gut mischen, abdecken und kühlen, um zu kühlen.

Den Ofen auf 375°F (190°C) vorheizen. Ein Backblech einfetten.

Den Teig herunterdrücken; in 2 gleiche Stücke teilen. Rollen Sie jedes Stück auf einer leicht bemehlten Oberfläche zu Kreisen von 1/8 Zoll Dicke aus. Füllen Sie jeden Kreis mit der Hälfte der Käse- und Fleischfüllung.

Den Teig über die Füllung falten, um einen Halbkreis zu formen. Drücken Sie die Ränder mit einer Gabel fest, um sie zu versiegeln. Bestreichen Sie die Oberseite jedes Calzones mit dem verquirlten Ei und legen Sie sie auf das vorbereitete Backblech.