Heizen Sie den Ofen auf 350 Grad F (175 Grad C) vor und fetten Sie eine 3-Quart-Auflaufform ein.

Braten Sie die Wurststücke in einer beschichteten Pfanne bei mittlerer Hitze 3 bis 5 Minuten an; nehmen Sie sie aus der Pfanne und legen Sie sie in eine große Schüssel.

In derselben Pfanne die Butter bei mittlerer Hitze schmelzen. Die Zwiebeln hinzufügen und unter Rühren weich kochen, etwa 3 Minuten. Den Knoblauch einrühren und weitere 30 Sekunden kochen lassen. Den Thymian einrühren und mit Salz und Pfeffer würzen.

Das Mehl über die Zwiebeln und den Knoblauch streuen und umrühren, bis das Mehl aufgenommen wurde, etwa 1 bis 2 Minuten. Die Hühnerbrühe und die Halb-und-Halb-Milch einrühren. Unter ständigem Rühren zum Kochen bringen, dann auf kleiner Flamme köcheln lassen, bis die Sauce eindickt und den Rücken eines Löffels bedeckt, 3 bis 5 Minuten. Die Pfanne vom Herd nehmen.

Die grünen Bohnen, Kartoffeln und Karotten zu der Schüssel mit der Wurst geben; die Sauce hinzufügen und alles gut vermengen. Die Mischung in die vorbereitete Auflaufform geben. Mit Alufolie abdecken.

Im vorgeheizten Ofen 45 Minuten backen. Die Folie entfernen, umrühren und die frittierten Zwiebeln darüberstreuen.