Füllen Sie einen großen Topf mit Wasser und stellen Sie ein Sous-Vide-Gerät in das Wasser. Stellen Sie die Temperatur auf 140°F (60°C) ein, gemäß der Anweisungen des Herstellers.

Klopfen Sie die Hähnchenbrustfilets mit einem Fleischklopfer auf eine gleichmäßige Stärke von 3/4 bis 1 Zoll. Würzen Sie beide Seiten mit Cajun-Gewürzmischung. Legen Sie das Huhn in Vakuumbeutel und verschließen Sie diese mit einem Vakuumverschließer.

Senken Sie die Beutel in das vorgeheizte Wasser, um sicherzustellen, dass sie vollständig eingetaucht sind; stellen Sie den Timer auf 1 Stunde. Wenn der Timer abgelaufen ist, nehmen Sie das Huhn aus dem Wasser und legen Sie es sofort für 5 Minuten in ein Eisbad. Entnehmen Sie das Huhn aus den Beuteln und tupfen Sie es mit Küchenpapier vollständig trocken.

Erhitzen Sie Butter und Avocadoöl in einer großen Pfanne bei starker Hitze, bis es gerade zu rauchen beginnt. Braten Sie das Huhn in der heißen Butter-Öl-Mischung 30 bis 45 Sekunden pro Seite an, bewegen Sie dabei das Huhn in der Pfanne, damit alle Seiten gleichmäßig braun werden. Nehmen Sie es heraus und decken Sie es mit Folie ab, um es warm zu halten.

Sauce zubereiten: Schmelzen Sie Butter in derselben Pfanne bei mittlerer Hitze. Fügen Sie Knoblauch hinzu und braten Sie ihn in heißer Butter, bis er duftet, 15 bis 30 Sekunden.

Rühren Sie die Hühnerbrühe ein und bringen Sie sie zum Köcheln. Kochen Sie, bis sie leicht reduziert ist, 3 bis 4 Minuten.

Rühren Sie die Sahne und den schwarzen Pfeffer ein; bringen Sie es zu einem leichten Köcheln. Kochen Sie unter ständigem Rühren, bis es eingedickt ist.

Rühren Sie den Parmesan-Käse, 1 Esslöffel auf einmal, ein, bis er geschmolzen und vermengt ist. Streuen Sie Thymian ein. Probieren Sie die Sauce und passen Sie den Salzgehalt bei Bedarf an.