Precalienta el horno a 350 grados F (175 grados C).

Calienta el aceite de oliva en una sartén a fuego medio; cocina y revuelve la chalota hasta que esté translúcida, aproximadamente 5 minutos. Vierte el vinagre balsámico en la sartén y lleva a ebullición. Reduce el fuego a bajo y deja hervir a fuego lento hasta que la mezcla de vinagre balsámico se reduzca a la mitad, aproximadamente 10 minutos. Revuelve con frecuencia.

Corta las pechugas de pollo desde un lado por el centro horizontalmente dejando media pulgada del otro lado intacto. Abre los dos lados y extiéndelos como si fuera un libro abierto.

Extiende la mitad del queso de cabra sobre una mitad de cada pechuga de pollo y rocía un tercio de la mezcla de vinagre balsámico reducida sobre el queso de cabra. Cierra las pechugas de pollo sobre el queso de cabra y asegúralas con palillos. Coloca el pollo en un molde para hornear. Rocía con el tercio restante de la reducción de vinagre balsámico.