Para la salmuera, vierte el jugo de remolacha en una cacerola pequeña; reserva las rodajas de remolacha. Agrega la 1/2 taza de vinagre, el azúcar, la sal y los granos de pimienta, y lleva a ebullición a fuego medio, revolviendo hasta que el azúcar se disuelva, de 3 a 5 minutos. Deja enfriar completamente, unos 20 minutos.

Coloca los huevos en un frasco o tazón de vidrio lo suficientemente grande para que la salmuera cubra completamente los huevos; vierte la salmuera. Añade más vinagre si es necesario para cubrir los huevos por completo. Refrigera, tapado, durante al menos 12 horas y hasta 24 horas. Cuanto más tiempo estén los huevos en la salmuera, más rosa intenso serán.

Corta los huevos por la mitad a lo largo de arriba hacia abajo con un cuchillo afilado. Retira las yemas y colócalas en un tazón. Tritura las yemas con un tenedor hasta que queden suaves, y mezcla con la mayonesa, la mostaza, la 1 cucharadita de vinagre y la salsa picante; sazona con sal y pimienta. Opcionalmente, si tienes un procesador de alimentos pequeño, coloca todos los ingredientes del relleno en él y mezcla hasta que quede suave.