Precalienta el horno a 300 grados F (150 grados C). Forra un molde para hornear de 9x13 pulgadas con papel pergamino; cubre con spray para cocinar.

Mezcla 3/4 taza de azúcar blanca, yemas de huevo, huevo, extracto de vainilla, 1 cucharadita de cardamomo y 1/2 cucharadita de sal juntos en el bol de una batidora de pie equipada con el accesorio de pala; mezcla a baja velocidad hasta que esté bien combinado.

Calienta la crema en una cacerola pequeña a fuego medio, revolviendo a menudo, hasta que comience a burbujear, aproximadamente 5 minutos; retira del fuego. Agrega la crema lentamente a la mezcla de huevo, mezclando a baja velocidad. Vierte la mezcla de natillas en el molde preparado.

Coloca la bandeja de hornear dentro de una bandeja para asar; vierte cuidadosamente suficiente agua hirviendo en la bandeja para asar para llegar hasta la mitad de los lados de la bandeja de hornear.

Hornea en el horno precalentado hasta que las natillas estén firmes cuando se agiten suavemente, de 45 a 50 minutos.

Retira la bandeja de hornear de la bandeja para asar. Enfría a temperatura ambiente, aproximadamente 30 minutos. Congela hasta que esté firme, al menos 1 hora.

Derrite la mantequilla en una sartén a fuego medio. Agrega el azúcar moreno, la sal, 1/4 cucharadita de cardamomo y la canela; revuelve para combinar. Agrega la calabaza congelada y cocina a fuego lento, revolviendo a menudo, hasta que se reduzca, aproximadamente 8 minutos. Enfría la calabaza caramelizada a temperatura ambiente, aproximadamente 10 minutos.