Calentar el aceite en una sartén a fuego medio. Cocinar los muslos de pato en aceite caliente, con la piel hacia abajo, hasta que estén dorados y la grasa se haya derretido, unos 10 minutos. Voltear y cocinar hasta que el otro lado esté dorado, de 3 a 4 minutos. Transferir a un plato, dejando la grasa derretida en la sartén.

Incorporar 1 taza de harina a la grasa en la sartén, agregando suficiente aceite para hacer un roux espeso y suave. Reducir el fuego a medio-bajo y cocinar, revolviendo constantemente, hasta que el roux tome un color marrón rojizo rico, unos 40 minutos. Incorporar 2 cucharadas más de harina y cocinar durante 2 minutos.

Incorporar el caldo, 1 taza a la vez, hasta que esté incorporado. Retirar del fuego.

Cocinar la salchicha en una olla holandesa grande a fuego medio hasta que esté dorada, unos 8 minutos. Incorporar la cebolla, los pimientos, el apio y los cebollines; cocinar y revolver hasta que la cebolla esté translúcida, unos 10 minutos. Incorporar la pimienta negra, el tomillo, la pimienta de cayena y la hoja de laurel, seguidos por los tomates picados hasta que se combinen.

Colocar el jarrete de jamón en el centro de la olla holandesa. Verter la mezcla de roux sobre el jarrete de jamón junto con suficiente agua para cubrir. Colocar los muslos de pato en la mezcla. Llevar a ebullición suave, luego reducir el fuego a bajo. Cubrir con la tapa colocada en un ángulo para dejar salir el vapor. Cocinar a fuego lento lentamente, revolviendo ocasionalmente, hasta que la carne de pato y el jarrete de jamón estén tiernos, unas 4 horas. Retirar la mayor cantidad posible de grasa de la superficie mientras hierve a fuego lento.

Transferir los muslos de pato y el jarrete de jamón a un tazón grande y dejar enfriar. Incorporar el okra encurtido al gumbo. Desmenuzar la carne de los muslos de pato y el jarrete de jamón y devolverla al gumbo. Cocinar a fuego lento el gumbo durante 45 minutos más.