Derrita la mantequilla en una olla grande a fuego medio-alto. Agregue las cebollas rojas, las cebollas dulces y la sal. Cocine, revolviendo con frecuencia, hasta que las cebollas estén caramelizadas y casi jarabosas, aproximadamente 35 minutos.

Agregue el caldo de pollo, el caldo de res, el vino tinto y la salsa Worcestershire. Ate el perejil, el tomillo y la hoja de laurel en un atado con cuerda y agréguelo a la olla. Cocine a fuego lento a fuego medio durante 20 minutos, revolviendo ocasionalmente. Retire y deseche el atado de hierbas. Incorpore el vinagre balsámico y sazone con sal y pimienta.

Precaliente el horno en modo asador y ajuste la rejilla a aproximadamente 15 cm de la fuente de calor. Tueste las rebanadas de pan francés en una bandeja para hornear debajo del asador hasta que estén doradas por ambos lados, aproximadamente 3 minutos.

Llene cada uno de los 4 tazones o cazuelas aptos para horno con la sopa caliente. Cubra cada tazón con 1 rebanada de pan tostado, 2 rebanadas de queso Gruyère y ¼ de queso Asiago. Espolvoree pimentón encima.