Mezcla el repollo, la zanahoria, la cebolla verde, la sal, la pimienta y la cayena con las manos en un tazón hasta que estén suaves, aproximadamente 30 segundos. Incorpora los huevos con un tenedor hasta que estén bien combinados.

Derrite 2 cucharadas de mantequilla en una sartén antiadherente a fuego medio. Agrega las rebanadas de pan y dale vuelta varias veces para asegurarte de que ambos lados estén cubiertos con mantequilla. Asa el pan hasta que esté bellamente tostado, dorado y un poco crujiente por ambos lados. Transfiere a un plato.

Derrite la cucharada restante de mantequilla en la misma sartén a fuego medio. Agrega la mezcla de repollo; cocina y mezcla simultáneamente usando el borde de una espátula para picar mientras empujas los bordes hacia arriba. Forma la mezcla en un rectángulo y divídelo en dos hamburguesas cuadradas; cocina hasta que estén doradas, aproximadamente 1.5 a 2 minutos por cada lado.

Apila las hamburguesas una encima de otra sobre una rebanada de pan tostado y espolvorea con azúcar.

Coloca las lonchas de jamón en la sartén caliente; cocina a fuego medio hasta que estén chisporroteando, aproximadamente de 1 a 2 minutos. Voltea y coloca una loncha de queso Cheddar encima; cocina hasta que se derrita.