Derrite 2 cucharadas de mantequilla en una sartén grande a fuego medio. Coloca los pechos de pollo en la sartén. Mezcla los chiles poblanos, los chiles jalapeños y el ajo. Exprime el jugo de media lima sobre el pollo y coloca la cáscara y la pulpa en la sartén. Tapa y cocina a fuego lento durante 25 minutos, revolviendo ocasionalmente, hasta que los jugos del pollo estén claros. Retira del fuego, deja enfriar y corta el pollo en cubos.

Precalienta el horno a 350°F (175°C).

Derrite 1/4 taza de mantequilla en una cacerola mediana a fuego bajo. Agrega gradualmente la harina y la media crema. Mezcla el cilantro, los champiñones, la crema agria y el jugo de la otra mitad de la lima. Cocina y revuelve durante 10 minutos, hasta que los champiñones estén tiernos.

Cubre el fondo de un molde para hornear de 9x13 pulgadas con 6 tortillas. Coloca la mitad de la mezcla de pollo y chiles sobre las tortillas. Espolvorea 1 taza de queso y cubre con las tortillas restantes. Añade la mezcla restante de pollo y chiles, y vierte la salsa de cilantro uniformemente sobre el casserole. Cubre con el queso restante.