Llena una olla grande con agua y coloca un cocinador sous vide en el agua. Ajusta la temperatura a 140°F (60°C), siguiendo las instrucciones del fabricante.

Golpea los pechos de pollo con un mazo para carne hasta que tengan un grosor uniforme de 3/4 a 1 pulgada. Sazona ambos lados con condimento Cajun. Coloca el pollo en bolsas al vacío y sella usando una selladora al vacío.

Baja las bolsas al agua precalentada, asegurándote de que estén completamente sumergidas; ajusta el temporizador por 1 hora. Cuando el temporizador termine, retira el pollo del agua y colócalo inmediatamente en un baño de hielo durante 5 minutos. Retira el pollo de las bolsas y sécalo completamente con toallas de papel.

Calienta la mantequilla y el aceite de aguacate en una sartén grande a fuego alto hasta que apenas comience a humear. Dora el pollo en la mezcla de mantequilla-aceite durante 30 a 45 segundos por lado, moviendo el pollo en la sartén para que todos los lados se doren uniformemente. Retira a un plato y cubre con papel aluminio para mantener caliente.

Haz la salsa: Derrite la mantequilla en la misma sartén a fuego medio. Agrega el ajo y saltéalo en la mantequilla caliente hasta que esté fragante, de 15 a 30 segundos.

Incorpora el caldo de pollo y lleva a ebullición. Cocina hasta que se reduzca ligeramente, de 3 a 4 minutos.

Incorpora la crema espesa y la pimienta negra; lleva a una ligera ebullición. Cocina, batiendo continuamente, hasta que se espese.

Incorpora el queso parmesano, 1 cucharada a la vez, hasta que se derrita y mezcle. Espolvorea el tomillo. Prueba la salsa y ajusta la sal si es necesario.