Calienta el aceite de oliva en una sartén grande a fuego medio. Agrega los champiñones; cocina y revuelve hasta que los champiñones estén dorados y suelten su humedad, unos 5 minutos. Retira del fuego, escurre y seca.

Bate los huevos, el azúcar, la sal, la pimienta y el polvo de chile rojo juntos en un tazón.

Cubre la sartén con un poco de aceite vegetal; coloca a fuego medio. Vierte algo de los huevos batidos, inclina la sartén para extenderlos en una capa fina. Cocina hasta que casi esté cuajado, de 1 a 2 minutos. Pasa una espátula de goma resistente al calor alrededor de los bordes para aflojar. Cubre con algunos champiñones; enrolla el huevo y muévelo hacia un lado de la sartén.

Enguárdala sartén con un poco más de aceite vegetal. Vierte más huevo para crear una segunda capa. Levanta el primer rollo para que el huevo crudo quede debajo. Espolvorea queso mozzarella encima; enrolla la segunda capa sobre la primera.

Repite el proceso de capas y enrollado con el aceite restante, los huevos, los champiñones y el queso mozzarella. Cocina el tamagoyaki terminado hasta que esté ligeramente dorado, unos 30 segundos por lado.