Faites cuire ¾ de tasse de beurre dans une grande poêle à feu moyen-doux jusqu'à ce qu'il soit fondu et légèrement doré, environ 12 à 15 minutes. Versez-le dans un bol et placez au congélateur jusqu'à ce qu'il soit solide, environ 30 minutes.

Pour la garniture : faites fondre 2 cuillères à soupe de beurre dans la même poêle. Ajoutez les pommes, 2 cuillères à soupe de sucre brun, 1 cuillère à café de cannelle, le jus de citron, la muscade et le sel. Faites cuire, en remuant de temps en temps, jusqu'à ce que les pommes soient dorées et caramélisées, environ 15 minutes. Ajoutez la cuillère à soupe restante de sucre brun et mélangez.

Préchauffez le four à 375°F (190°C). Tapissez un moule à gâteau carré de 9 pouces de papier sulfurisé.

Mélangez la farine, les flocons d'avoine, ⅔ de tasse de sucre brun, la levure chimique, ¼ de cuillère à café de cannelle et le sel. Râpez le beurre congelé ou coupez-le en petits morceaux. Incorporez le beurre dans le mélange jusqu'à obtenir des miettes grossières. Ajoutez le jaune d'œuf et l'extrait de vanille; mélangez jusqu'à formation d'une pâte. Pressez les deux tiers de la pâte (environ 2 2/3 tasses) uniformément dans le moule préparé.

Faites cuire la croûte jusqu'à ce qu'elle soit légèrement dorée, environ 10 minutes.