Pour la saumure, égouttez le jus de betterave dans une petite casserole; mettez les tranches de betterave de côté. Ajoutez le 1/2 tasse de vinaigre, le sucre, le sel et les grains de poivre, et portez à ébullition douce à feu moyen, en remuant jusqu'à ce que le sucre se dissolve, 3 à 5 minutes. Laissez refroidir complètement, environ 20 minutes.

Placez les œufs dans un bocal ou un bol en verre juste assez grand pour que la saumure couvre complètement les œufs; versez la saumure. Complétez avec du vinaigre au besoin pour couvrir complètement les œufs. Réfrigérez, couvert, pendant au moins 12 heures et jusqu'à 24 heures. Plus les œufs restent dans la saumure, plus ils seront roses foncé.

Coupez les œufs en deux dans le sens de la longueur de haut en bas avec un couteau bien aiguisé. Retirez les jaunes et placez-les dans un bol. Écrasez les jaunes avec une fourchette jusqu'à obtenir une texture lisse, puis ajoutez la mayonnaise, la moutarde de Dijon, la 1 cuillère à café de vinaigre et la sauce piquante; assaisonnez de sel et de poivre. En option, si vous avez un petit robot culinaire, placez tous les ingrédients de la garniture dedans et mixez jusqu'à obtenir une consistance lisse.