Préchauffez le four à 300 degrés Fahrenheit (150 degrés Celsius). Tapissez un moule à gâteau de 9x13 pouces de papier sulfurisé; enduisez de spray de cuisson.

Mélangez 3/4 de tasse de sucre blanc, les jaunes d'œufs, l'œuf, l'extrait de vanille, 1 cuillère à café de cardamome et 1/2 cuillère à café de sel ensemble dans le bol d'un batteur sur socle équipé de la feuille; mélangez à faible vitesse jusqu'à bien combiné.

Chauffez la crème dans une petite casserole à feu moyen, en remuant souvent, jusqu'à ce qu'elle commence à bouillonner, environ 5 minutes; retirez du feu. Ajoutez la crème au mélange d'œufs lentement, en mélangeant à faible vitesse. Versez la crème dans le moule préparé.

Placez le moule à gâteau dans un plat à rôtir; versez délicatement suffisamment d'eau bouillante dans le plat à rôtir pour atteindre la moitié des côtés du moule à gâteau.

Faites cuire au four préchauffé jusqu'à ce que la crème soit prise lorsqu'elle est secouée doucement, de 45 à 50 minutes.

Retirez le moule à gâteau du plat à rôtir. Refroidissez à température ambiante, environ 30 minutes. Congelez jusqu'à fermeté, au moins 1 heure.

Faites fondre le beurre dans une poêle à feu moyen. Ajoutez la cassonade, le sel, 1/4 de cuillère à café de cardamome et la cannelle; remuez pour combiner. Ajoutez la citrouille surgelée et faites mijoter, en remuant souvent, jusqu'à réduction, environ 8 minutes. Laissez refroidir la citrouille caramélisée à température ambiante, environ 10 minutes.