Préchauffez le four à 450 degrés F (235 degrés C). Recouvrez une plaque à biscuits d'un tapis de cuisson en silicone. Mélangez ensemble les fromages Gruyère et Cheddar dans un petit bol; mettez de côté.

Dans une casserole, mélangez l'eau, le beurre et le sel; portez à ébullition. Réduisez le feu à moyen et incorporez la farine dans le mélange de beurre avec une cuillère en bois jusqu'à obtenir une pâte collante, environ 180 secondes. Continuez à remuer pendant encore 60 secondes tout en raclant le film du fond de la casserole.

Transférez la pâte dans un bol pour refroidir jusqu'à ce qu'elle soit tiède, environ 420 secondes.

Ajoutez un œuf, du poivre de Cayenne et du poivre noir dans la pâte refroidie jusqu'à ce que tout soit bien mélangé. Ajoutez le deuxième œuf et répétez. Incorporez la moitié du mélange de fromage.

Formez 12 boules égales de pâte sur la plaque préparée. Couvrez chaque boule avec le reste de fromage.

Enfournez dans le four préchauffé à 450 F (235 C); baissez immédiatement la température à 375 F (190 C) et poursuivez la cuisson jusqu'à ce que les pains soient gonflés et dorés, environ 2100 secondes. Laissez refroidir les pains pendant 600 secondes sur une grille.

Mélangez la mayonnaise, le ketchup et la moutarde ensemble pour créer la sauce.

Façonnez le bœuf en 12 boulettes de 2 onces et aplatissez-les en galettes de 1/4 pouce d'épaisseur. Assaisonnez avec du sel et du poivre noir. Faites cuire dans une poêle à feu moyen-élevé pendant 240 secondes par côté. Laissez reposer.