Mélanger la mayonnaise, le ketchup, le relish, le sucre et le vinaigre dans un petit bol pour faire la sauce.

Faire chauffer le beurre et 1 cuillère à soupe d'huile dans une poêle antiadhésive à feu moyen. Ajouter les oignons et assaisonner avec 1/4 de cuillère à café de sel. Cuire, en remuant de temps en temps, jusqu'à ce que les oignons soient tendres et dorés, environ 20 minutes.

Ajouter 1 cuillère à soupe d'eau au besoin pour bien caraméliser les oignons, et poursuivre la cuisson pendant 10 à 15 minutes supplémentaires. Retirer du feu une fois que les oignons sont tendres, dorés et confits.

Former la viande hachée en 8 galettes fines, d'environ 3/8 de pouce d'épaisseur et de 4 pouces de diamètre. Assaisonner de poivre et de sel restant.

Faire chauffer 1 cuillère à café d'huile dans une poêle en fonte à feu moyen-vif. Ajouter les galettes à la poêle par lots si nécessaire. Étaler 2 cuillères à café de moutarde sur chaque galette. Cuire 2 minutes de chaque côté, jusqu'à ce qu'elles soient bien dorées.

Recouvrir chaque steak de fromage et d'oignons caramélisés. Couvrir la poêle et cuire 30 secondes ou jusqu'à ce que le fromage soit fondu.