Faites fondre le beurre dans une grande casserole à feu moyen-élevé. Ajoutez les oignons rouges, les oignons doux et le sel. Faites cuire en remuant fréquemment jusqu'à ce que les oignons soient caramélisés et presque sirupeux, environ 35 minutes.

Ajoutez le bouillon de poulet, le bouillon de bœuf, le vin rouge et la sauce Worcestershire. Attachez le persil, le thym et la feuille de laurier ensemble avec de la ficelle et ajoutez-les dans la casserole. Laissez mijoter à feu moyen pendant 20 minutes, en remuant de temps en temps. Retirez et jetez le bouquet d'herbes. Incorporez le vinaigre balsamique et assaisonnez avec du sel et du poivre.

Préchauffez le gril du four et ajustez la grille à environ 15 cm de la source de chaleur. Faites griller les tranches de pain français sur une plaque de cuisson sous le gril jusqu'à ce qu'elles soient dorées des deux côtés, environ 3 minutes.

Remplissez chacun des 4 bols ou cocottes résistant(e)s au four avec la soupe chaude. Recouvrez chaque bol d'une tranche de pain grillé, de 2 tranches de fromage Gruyère et d'un quart du fromage Asiago. Saupoudrez de paprika par-dessus.