Faites chauffer 1 cuillère à café d'huile d'olive dans une poêle à feu moyen. Ajoutez l'oignon haché et faites cuire jusqu'à ce qu'il soit doux et translucide, environ 5 minutes.

Dans un bol de mélange, pétrissez ensemble l'oignon, l'agneau, l'œuf, la chapelure, l'ail, le sel et le poivre. Divisez le mélange en six portions, façonnez-les en boules, couvrez et réfrigérez jusqu'à utilisation.

Combinez le fromage de chèvre, l'huile d'olive extra vierge, le basilic et l'origan dans un bol. Mélangez bien; couvrez et réfrigérez pendant 5 minutes.

Préchauffez le gril à feu moyen-élevé et enduisez légèrement les grilles d'huile.

Formez chaque boulette en galettes. Appuyez avec votre pouce au centre pour créer une indentation, remplissez-la d'une cuillerée de mélange au fromage de chèvre, puis refermez pour former des galettes de hamburger.