Placez les pommes de terre dans une grande casserole et couvrez-les d'eau salée; portez à ébullition. Réduisez le feu à moyen-doux et laissez mijoter jusqu'à ce qu'elles soient tendres, environ 20 minutes. Égouttez.

Dans un bol, combinez la farine, le babeurre, l'eau et 1 cuillère à café de sel. Fouettez avec une fourchette; lorsque la pâte épaissit, commencez à pétrir à la main. Pétrissez pendant au moins 10 minutes. Couvrez la pâte et laissez reposer au moins 30 minutes.

Pelez et écrasez les pommes de terre bouillies. Ajoutez le fromage mozzarella et mélangez bien. Ajoutez du sel au goût. Divisez la garniture en 12 boules.

Divisez la pâte en 12 boules. Sur une surface farinée, étirez chaque morceau de pâte en un petit cercle plat. Placez une boule de garniture au centre. Relevez les bords de la pâte pour envelopper la garniture et former une boule de pâte. Répétez pour toutes les boules.

Chauffez une poêle à fond épais à feu moyen, sans huile ni graisse. Faites fondre le beurre séparément. Abaissez chaque boule de pâte en un cercle fin d'environ 1/4 de pouce d'épaisseur. Soyez prudent pour éviter les déchirures.

Placez les hychins roulés dans la poêle chaude et faites cuire jusqu'à ce que des taches dorées apparaissent, environ 2 minutes de chaque côté. Badigeonnez de beurre après cuisson.