Faites chauffer l'huile d'olive dans une casserole à feu moyen-élevé. Ajoutez l'oignon, le sel et l'agneau. Émiettez l'agneau en petits morceaux. Faites cuire en remuant de temps en temps jusqu'à ce que la plupart du liquide s'évapore, environ 8 minutes. Incorporez l'ail, les raisins secs, les pignons, le cumin, la coriandre, la cannelle, le paprika, le poivre noir, le piment de Cayenne et le quatre-épices. Faites cuire et remuez pendant 1 minute.

Versez la sauce tomate dans le mélange d'agneau. Ajoutez de l'eau, remuez et réduisez le feu à moyen. Faites cuire jusqu'à ce que le mélange d'agneau sèche et que vous puissiez le remuer sans voir de liquide au fond de la casserole, de 20 à 30 minutes. Éteignez le feu et laissez refroidir complètement avant utilisation.

Mélangez l'œuf, le yaourt, l'eau et le beurre dans un bol. Battez bien ensemble pour faire la dorure à l'œuf.

Préchauffez le four à 400°F (200°C). Beurrez un moule à cuisson rond ou une plaque à biscuits.

Placez 2 feuilles de pâte phyllo sur votre surface de travail. Gardez les feuilles restantes couvertes avec un torchon humide. Appliquez légèrement un peu de dorure à l'œuf sur le dessus. Superposez 2 autres feuilles, une à la fois, en appliquant plus de dorure à l'œuf sur chaque feuille.

Disposez 1/3 de la garniture d'agneau le long d'un bord large de la pâte phyllo. Enroulez la pâte en commençant par le côté de la garniture et placez-la contre le bord du moule. Appliquez encore de la dorure à l'œuf sur le dessus.

Façonnez et remplissez 2 autres rouleaux avec les feuilles de pâte phyllo restantes, la plupart de la dorure à l'œuf et de la garniture. Enveloppez les rouleaux autour et à l'intérieur du premier, remplissez le moule, et badigeonnez de dorure à l'œuf. Saupoudrez de graines de sésame sur le dessus.

Faites cuire au four préchauffé jusqu'à ce qu'ils soient dorés et croustillants, de 35 à 40 minutes. Laissez refroidir pendant 15 minutes.

Mélangez le yaourt, la menthe, le jus de citron et l'ail pour la sauce au yaourt. Mélangez suffisamment d'eau pour obtenir la consistance désirée pour tremper. Assaisonnez avec du sel et du piment de Cayenne.