Mélangez ensemble la farine, la levure chimique et le sel dans un bol. Dans un grand bol, battez les œufs, le sucre et la vanille avec un mixeur électrique à vitesse moyenne jusqu'à ce que le mélange soit épais, environ 3 minutes. Dans un petit bol, mélangez le lait et le beurre fondu.

Ajoutez alternativement le mélange de farine et le mélange de lait au mélange d'œufs, en battant à faible vitesse après chaque ajout juste jusqu'à incorporation. Laissez reposer la pâte, couverte, jusqu'à ce qu'elle soit facile à manipuler, environ 1 heure.

Étalez la pâte sur une surface légèrement farinée jusqu'à une épaisseur de 1/2 pouce. Découpez des trous de beignet à l'aide d'un emporte-pièce rond de 1½ pouces. Trempez l'emporte-pièce dans la farine entre chaque découpe et reformez la pâte au besoin. Placez une grille sur une plaque à biscuits.

Versez de l'huile sur une profondeur de 2½ à 3 pouces dans une casserole de 4 litres ou une friteuse. Chauffez à 365°F en utilisant un thermomètre pour surveiller la température.

Travaillez par lots de 5 à 6 trous de beignets, faites frire, en retournant une fois à mi-cuisson, jusqu'à ce qu'ils soient légers et dorés, environ 2 minutes.

Transférez les trous de beignets sur la grille préparée et laissez refroidir environ 2 minutes.

Fouettez le sucre glace, le beurre fondu, l'extrait de vanille et le sel dans un bol pour faire le glaçage à la vanille. Fouettez de l'eau chaude, 1 cuillère à soupe à la fois, jusqu'à obtenir la consistance désirée.