Dissoudre la levure dans l'eau tiède dans un bol de mélange; laisser reposer jusqu'à ce qu'elle soit mousseuse, environ 5 minutes. Ajouter 1 cuillère à soupe d'huile d'olive, le sucre et le sel; incorporer 1 tasse de farine jusqu'à consistance lisse. Incorporer progressivement le reste de la farine jusqu'à ce que la pâte soit lisse et facile à travailler.

Placer la pâte sur une surface légèrement farinée. Pétrir la pâte jusqu'à ce qu'elle soit élastique, environ 5 minutes. Placer 1 cuillère à café d'huile d'olive dans un grand bol; déposer la pâte dans le bol et retourner pour bien enrober d'huile. Couvrir et laisser lever jusqu'à ce qu'elle double presque de volume, environ 40 minutes.

Pendant ce temps, préparez la garniture: Mélanger le fromage cheddar, le fromage ricotta, le pepperoni, les champignons et les feuilles de basilic dans un bol moyen. Bien mélanger, couvrir et réfrigérer pour refroidir.

Préchauffer le four à 375°F (190°C). Graisser une plaque de cuisson.

Percer la pâte; diviser en 2 morceaux égaux. Abaisser chaque morceau sur une surface légèrement farinée en cercles d'environ 1/8 de pouce d'épaisseur. Garnir chaque cercle de la moitié du mélange de fromage et de viande.

Replier la pâte sur la garniture pour former un demi-cercle. Appuyer sur les bords avec les dents d'une fourchette pour sceller. Badigeonner le dessus de chaque calzone avec l'œuf battu et placer sur la plaque de cuisson préparée.