Faites chauffer l'huile d'olive dans une grande casserole à feu moyen. Faites cuire les poireaux jusqu'à ce qu'ils soient translucides, environ 5 à 7 minutes.

Ajoutez les topinambours, le céleri, la carotte et l'ail. Assaisonnez avec du sel et du poivre. Ajoutez les feuilles de laurier et 1/2 botte d'estragon. Faites cuire et remuez à feu vif jusqu'à ce que les légumes soient chauds, environ 2 à 3 minutes.

Versez le vermouth dans la casserole. Portez à ébullition et grattez les morceaux bruns du fond de la casserole.

Ajoutez le bouillon de légumes et réduisez le feu à moyen-doux. Laissez mijoter jusqu'à ce que les légumes soient tendres, environ 30 minutes.

Ajoutez le cresson, en réservant quelques brins pour la garniture. Laissez-le flétrir, environ 5 minutes.

Dans une poêle, faites fondre le beurre à feu moyen. Faites cuire les champignons avec du sel et du poivre jusqu'à ce qu'ils soient tendres, environ 5 minutes. Incorporez l'estragon restant et réservez.

Retirez les feuilles de laurier de la soupe. Mixez 2/3 de la soupe jusqu'à obtenir une texture lisse, en laissant 1/3 non mixé. Combinez les deux portions avant de servir.