Larutkan ragi dalam air hangat di dalam mangkuk pencampur; biarkan hingga berbusa, sekitar 5 menit. Tambahkan 1 sendok makan minyak zaitun, gula, dan garam; campur dengan 1 cangkir tepung hingga halus. Secara bertahap aduk sisa tepung hingga adonan halus dan bisa dikerjakan.

Pindahkan adonan ke permukaan yang sudah ditaburi sedikit tepung. Uleni adonan hingga elastis, sekitar 5 menit. Tuangkan 1 sendok teh minyak zaitun ke dalam mangkuk besar; letakkan adonan di dalam mangkuk dan balikkan untuk melapisinya dengan minyak. Tutup dan biarkan mengembang hingga hampir dua kali lipat ukurannya, sekitar 40 menit.

Sementara itu, buat isian: Campur keju Cheddar, keju ricotta, pepperoni, jamur, dan daun basil dalam mangkuk sedang. Aduk rata, tutup, dan dinginkan di lemari es.

Panaskan oven hingga 375°F (190°C). Olesi loyang panggang.

Kempiskan adonan; bagi menjadi 2 bagian sama besar. Giling setiap bagian di permukaan yang sudah ditaburi sedikit tepung menjadi lingkaran setebal 1/8 inci. Isi setiap lingkaran dengan 1/2 dari isian keju dan daging.

Lipat adonan menutupi isian untuk membentuk setengah lingkaran. Tekan tepi dengan garpu untuk menyegel. Olesi bagian atas setiap calzone dengan telur yang sudah dikocok dan letakkan di loyang yang sudah disiapkan.