Isi panci besar dengan air dan letakkan alat masak sous vide ke dalam air. Atur suhu menjadi 140°F (60°C), sesuai petunjuk pabrik.

Pukul dada ayam dengan palu daging hingga ketebalan seragam 3/4 hingga 1 inci. Bumbui kedua sisi dengan bumbu Cajun. Letakkan ayam ke dalam kantong vakum dan tutup rapat menggunakan penyegel vakum.

Rendam kantong ke dalam air yang telah dipanaskan, pastikan sepenuhnya terendam; atur timer selama 1 jam. Saat waktunya habis, angkat ayam dari air dan segera rendam dalam bak es selama 5 menit. Keluarkan ayam dari kantong dan keringkan sepenuhnya dengan handuk kertas.

Panaskan mentega dan minyak alpukat dalam wajan besar di atas api tinggi sampai hampir berasap. Panggang ayam dalam campuran mentega-minyak panas selama 30 hingga 45 detik per sisi, pindahkan ayam di sekitar wajan untuk mendapatkan semua sisi berwarna cokelat merata. Pindahkan ke piring dan tutup dengan aluminium foil untuk menjaga tetap hangat.

Buat saus: Lelehkan mentega dalam wajan yang sama di atas api sedang. Tambahkan bawang putih dan tumis dalam mentega panas hingga harum, 15 hingga 30 detik.

Aduk rata kaldu ayam dan didihkan. Masak hingga agak menyusut, 3 hingga 4 menit.

Aduk rata krim kental dan merica hitam; didihkan ringan. Masak, aduk terus-menerus, hingga mengental.

Aduk keju Parmesan, 1 sendok makan pada satu waktu, hingga meleleh dan tercampur. Taburkan thyme. Cicipi saus dan sesuaikan garam jika diperlukan.