Preriscalda il forno a 350 gradi F (175 gradi C).

Scalda l'olio d'oliva in una padella a fuoco medio; cuoci e mescola lo scalogno fino a quando non diventa traslucido, circa 5 minuti. Versa l'aceto balsamico nella padella e porta ad ebollizione. Riduci il fuoco al minimo e fai sobbollire fino a quando il composto di aceto balsamico si riduce della metà, circa 10 minuti. Mescola spesso.

Taglia i petti di pollo da un lato orizzontalmente attraverso il centro fino a mezzo pollice dall'altro lato. Apri le due parti e stendile come un libro aperto.

Spalma metà del formaggio di capra su una metà di ciascun petto di pollo e irroralo con 1/3 del composto di aceto balsamico ridotto. Chiudi i petti di pollo sopra il formaggio di capra e fissali con stuzzicadenti. Disponi il pollo in una teglia da forno. Irrora con il restante 1/3 della riduzione di aceto balsamico.