Scalda l'olio in una padella a fuoco medio. Cuoci le cosce d'anatra nell'olio caldo, con la pelle rivolta verso il basso, fino a doratura e fino a quando il grasso si sarà sciolto, circa 10 minuti. Girale e cuoci fino a doratura anche dall'altro lato, da 3 a 4 minuti. Trasferiscile su un piatto, lasciando il grasso sciolto nella padella.

Incorpora 1 tazza di farina nel grasso della padella, aggiungendo abbastanza olio per ottenere un roux denso e liscio. Abbassa il fuoco a medio-basso e cuoci, mescolando continuamente, fino a quando il roux diventa di un colore marrone-rossastro ricco, circa 40 minuti. Incorpora altri 2 cucchiai di farina e cuoci per 2 minuti.

Incorpora il brodo, 1 tazza alla volta, finché non è ben amalgamato. Togli dal fuoco.

Cuoci la salsiccia in una grande pentola olandese a fuoco medio fino a doratura, circa 8 minuti. Aggiungi cipolla, peperoni, sedano e cipollotti tritati; cuoci e mescola fino a quando la cipolla non diventa traslucida, circa 10 minuti. Unisci pepe nero, timo, peperoncino di Cayenna e foglia di alloro, seguiti dai pomodori a dadini fino a completo assorbimento.

Metti lo stinco di prosciutto al centro della pentola olandese. Versa il composto di roux sopra lo stinco insieme a tanta acqua quanto basta per coprire. Metti le cosce d'anatra nel composto. Porta a ebollizione, poi abbassa il fuoco al minimo. Copri con il coperchio inclinato per lasciar uscire il vapore. Fai sobbollire lentamente, mescolando occasionalmente, fino a quando la carne d'anatra e lo stinco di prosciutto non sono teneri, circa 4 ore. Togli il più possibile il grasso dalla superficie mentre sobbolle.

Trasferisci le cosce d'anatra e lo stinco di prosciutto in una grande ciotola e lascia raffreddare. Incorpora l'okra sottaceto nel gumbo. Sfila la carne dalle cosce d'anatra e dallo stinco e rimettila nel gumbo. Fai sobbollire il gumbo per altri 45 minuti.