Preriscalda il forno a 375 gradi F (190 gradi C).

Metti l'olio d'oliva e il burro in una pentola olandese a fuoco medio. Aggiungi l'agnello macinato e la cipolla; cuoci e mescola finché la carne non diventa marrone e friabile, circa 10 minuti.

Incorpora la farina fino a quando non è ben amalgamata. Aggiungi l'aglio, il ketchup, il rosmarino, la paprika, la cannella, il sale e il pepe; cuoci e mescola finché l'aglio non diventa profumato, da 2 a 3 minuti.

Aggiungi l'acqua, raschiando eventuali residui dal fondo della pentola. Riduci il fuoco a medio-basso e porta il composto a ebollizione; cuoci e mescola finché non si addensa, da 5 a 6 minuti.

Togliere il composto di agnello dal fuoco, quindi incorporare i piselli e le carote fino a che non sono ben combinati.

Distribuisci il composto di agnello sul fondo di una teglia da forno 9x13 pollici; metti da parte.

Metti le patate in una pentola grande con acqua salata. Porta a ebollizione, riduci il fuoco a medio e cuoci fino a quando diventano morbide, circa 15 minuti. Scola bene e rimetti le patate nella pentola.

Schiaccia il formaggio irlandese, il formaggio cremoso, il burro e il pepe di Caienna nelle patate fino a ottenere un composto liscio. Condisci con sale e pepe nero.

Sbatti insieme il tuorlo d'uovo e il latte in una piccola ciotola; incorpora al composto di patate schiacciate.

Cospargi il composto di agnello nella teglia con le patate schiacciate; distribuisci uniformemente per coprire.