Mescolare insieme la farina, il lievito e il sale in una ciotola. In una ciotola grande, sbattere le uova, lo zucchero e la vaniglia con un mixer elettrico a velocità media fino a ottenere un composto spesso, circa 3 minuti. In una piccola ciotola, mescolare il latte e il burro sciolto.

Aggiungere l'impasto di farina e il composto di latte alternativamente al composto di uova, sbattendo a bassa velocità dopo ogni aggiunta solo fino a quando non sarà combinato. Mettere l'impasto in frigorifero, coperto, fino a quando non sarà facile da maneggiare, circa 1 ora.

Stendere l'impasto fino a uno spessore di 1/2 pollice su una superficie leggermente infarinata. Tagliare i buchi delle ciambelle usando un tagliapasta rotondo di 1½ pollici. Immergere il tagliapasta nella farina tra un taglio e l'altro e riutilizzare l'impasto come necessario. Posizionare una gratella all'interno di una teglia.

Versare l'olio fino a una profondità di 2½-3 pollici in una pentola da 4 litri o friggitrice. Riscaldare a 365°F utilizzando un termometro per monitorare la temperatura.

Lavorando in lotti di 5-6 buchi di ciambelle, friggere, girando una volta a metà cottura, fino a quando non saranno leggeri e dorati, circa 2 minuti.

Trasferire i buchi delle ciambelle sulla gratella preparata e lasciar raffreddare per circa 2 minuti.

Mescolare lo zucchero a velo, il burro sciolto, l'estratto di vaniglia e il sale in una ciotola per preparare la glassa alla vaniglia. Incorporare l'acqua calda, un cucchiaio alla volta, fino a raggiungere la consistenza desiderata.