Metti l'arrosto di maiale sul fondo di una pentola lenta e copri con i crauti con il loro succo, la salsa di mele, lo zucchero di canna e una lattina di birra. Imposta la pentola su Alta temperatura, copri e cuoci per 3 ore. Riduci il calore a Basso e cuoci per altre 4 ore.

Circa 1 ora e mezza prima del momento di servire, scalda l'acqua con i ritagli di maiale riservati in una grande padella a fuoco basso e fai sobbollire per fare il brodo, circa 45 minuti. Filtra il brodo, scarta i ritagli e versa la lattina rimanente di birra e il succo di crauti nel brodo che sobbolle. Porta il brodo ad ebollizione.

Mescola la miscela per cottura e il latte in una ciotola per ottenere un impasto appiccicoso. Versa a cucchiaiate nell'ebollizione del brodo. Riduci il calore a basso, copri e lascia sobbollire i gnocchi per 10 minuti; scopri e continua a sobbollire finché i gnocchi non sono sodi, circa altri 10 minuti. Per gnocchi più gommosi, fai bollire qualche minuto in più. Rimuovi i gnocchi dal brodo con un mestolo forato e trasferiscili in una ciotola da portata.