Sciogli il lievito nell'acqua tiepida in una ciotola per impastare; lascia riposare fino a quando non diventa spumoso, circa 5 minuti. Aggiungi 1 cucchiaio di olio d'oliva, lo zucchero e il sale; mescola 1 tazza di farina fino a ottenere un composto liscio. Incorpora gradualmente la farina rimanente fino a quando l'impasto non diventa liscio e lavorabile.

Trasferisci l’impasto su una superficie leggermente infarinata. Impasta fino a che non diventa elastico, circa 5 minuti. Metti 1 cucchiaio di olio d'oliva in una ciotola grande; adagia l'impasto nella ciotola e capovolgilo per coprirlo con l'olio. Copri e lascia lievitare fino a quasi raddoppiato, circa 40 minuti.

Nel frattempo, prepara il ripieno: Combina il formaggio Cheddar, il formaggio ricotta, i peperoni, i funghi e le foglie di basilico in una ciotola media. Mescola bene, copri e metti in frigorifero per raffreddare.

Preriscalda il forno a 190°C. Ungi una teglia da forno.

Sgonfia l'impasto; dividilo in 2 pezzi uguali. Stendi ogni pezzo su una superficie leggermente infarinata in cerchi spessi 1/8 di pollice. Farcisci ogni cerchio con metà del ripieno di formaggio e carne.

Piega l'impasto sopra il ripieno per formare un semicerchio. Premi i bordi con i rebbi di una forchetta per sigillarli. Spennella la parte superiore di ogni calzone con l'uovo sbattuto e disponili sulla teglia preparata.