Preriscalda il forno a 175 gradi C e ungi una teglia da 3 litri.

Rosola i pezzi di salsiccia in una padella antiaderente a fuoco medio, per 3-5 minuti; rimuovi dalla padella e metti in una ciotola grande.

Nella stessa padella, sciogli il burro a fuoco medio. Aggiungi le cipolle e cuoci, mescolando, fino a che diventano morbide, circa 3 minuti. Incorpora l'aglio e cuoci per altri 30 secondi. Aggiungi il timo; condisci con sale e pepe.

Cospargi la farina sulle cipolle e l'aglio, e mescola finché la farina viene assorbita, circa 1-2 minuti. Aggiungi il brodo di pollo e la half-and-half. Porta ad ebollizione, mescolando, poi abbassa il fuoco e continua a cuocere, mescolando, finché la salsa si addensa e ricopre il dorso di un cucchiaio, 3-5 minuti. Togli la padella dal fuoco.

Aggiungi i fagiolini, le patate e le carote nella ciotola con la salsiccia; aggiungi la salsa e mescola per coprire tutti gli ingredienti con la salsa. Trasferisci il composto nella teglia preparata. Copri con carta stagnola.

Inforna nel forno preriscaldato per 45 minuti. Rimuovi la stagnola, mescola, e cospargi le cipolle fritte sopra.