Riempire una pentola capiente con acqua e posizionare un cuocitore sous vide nell'acqua. Impostare la temperatura a 140°F (60°C), seguendo le istruzioni del produttore.

Battere i petti di pollo con un batticarne fino a ottenere uno spessore uniforme di 3/4-1 pollice. Condire entrambi i lati con il condimento Cajun. Mettere il pollo in sacchetti sottovuoto e sigillare usando una sigillatrice sottovuoto.

Abbassare i sacchetti nell'acqua preriscaldata, assicurandosi che siano completamente sommersi; impostare il timer per 1 ora. Quando il timer suona, rimuovere il pollo dall'acqua e immediatamente immergerlo in un bagno di ghiaccio per 5 minuti. Rimuovere il pollo dai sacchetti e asciugarlo completamente con carta assorbente.

Scaldare burro e olio di avocado in una padella capiente a fuoco alto fino a quando non inizia a fumare. Cuocere il pollo nel composto caldo di burro-olio per 30-45 secondi per lato, muovendo il pollo nella padella per dorare uniformemente tutti i lati. Togliere su un piatto e coprire con alluminio per mantenerlo caldo.

Preparare la salsa: Sciogliere il burro nella stessa padella a fuoco medio. Aggiungere l'aglio e saltarlo nel burro caldo fino a quando non diventa fragrante, da 15 a 30 secondi.

Incorporare il brodo di pollo con una frusta e portare a ebollizione. Cuocere fino a quando leggermente ridotto, da 3 a 4 minuti.

Incorporare la panna pesante e il pepe nero; portare a una leggera ebollizione. Cuocere, mescolando continuamente, fino a quando si sarà addensata.

Incorporare il formaggio Parmigiano, 1 cucchiaio alla volta, fino a quando non si sarà sciolto e amalgamato. Spolverizzare con timo. Assaggiare la salsa e regolare il sale, se necessario.