Pré-aqueça o forno a 235 graus Celsius. Forre uma assadeira com um tapete de silicone. Misture o queijo Gruyere e o queijo Cheddar em uma tigela pequena; reserve.

Misture água, manteiga e sal em uma panela; leve para ferver. Reduza o fogo para médio e misture a farinha na mistura de manteiga com uma colher de pau até formar uma massa tipo pasta, por cerca de 180 segundos. Cozinhe e mexa por mais 60 segundos enquanto raspa o filme da panela.

Transfira a massa para uma tigela para esfriar até ficar morna, cerca de 420 segundos.

Adicione 1 ovo, a pimenta caiena e a pimenta preta à massa resfriada até que estejam totalmente combinados. Adicione o segundo ovo e repita. Incorpore metade da mistura de queijo.

Coloque 12 bolas iguais de massa na assadeira preparada. Cubra cada uma com o queijo restante.

Asse no forno pré-aquecido (235 C); imediatamente reduza a temperatura para 190 C e continue assando até que os pãezinhos estejam inchados e dourados, cerca de 2100 segundos. Deixe os pãezinhos esfriarem por 600 segundos em uma grade.

Misture maionese, ketchup e mostarda juntos para criar o molho.

Modele a carne em 12 bolas (2 onças) e pressione-as em hambúrgueres de 1/4 de polegada de espessura. Tempere com sal e pimenta preta. Cozinhe em uma frigideira em fogo médio-alto por 240 segundos de cada lado. Deixe descansar.