Misture o repolho, a cenoura, a cebolinha, o sal, a pimenta e a pimenta caiena com as mãos em uma tigela até ficar macio, cerca de 30 segundos. Misture os ovos com um garfo até que estejam completamente incorporados.

Derreta 2 colheres de sopa de manteiga em uma frigideira antiaderente em fogo médio. Adicione as fatias de pão e vire algumas vezes para garantir que ambos os lados estejam cobertos com manteiga. Asse o pão até que fique bem torrado, dourado e um pouco crocante dos dois lados. Transfira para um prato.

Derreta a colher de sopa restante de manteiga na mesma frigideira em fogo médio. Adicione a mistura de repolho; cozinhe e simultaneamente misture usando a borda de uma espátula para cortar enquanto empurra as bordas para cima. Forme a mistura em um retângulo e divida em dois hambúrgueres quadrados; cozinhe até dourar, cerca de 1,5 a 2 minutos por lado.

Empilhe os hambúrgueres um sobre o outro em uma fatia de torrada e polvilhe com açúcar.

Coloque as fatias de presunto na frigideira quente; cozinhe em fogo médio até chiarem, cerca de 1 a 2 minutos. Vire e cubra com a fatia de queijo Cheddar; cozinhe até derreter.